Дублин, 16 октября 1843 года. Уильям Роуэн Гамильтон идёт по берегу Королевского канала к заседанию Ирландской королевской академии. Он профессор астрономии, директор обсерватории Дансинк, ему тридцать восемь лет — и последние десять из них он потратил на одну задачу, которую не может решить. Задача звучит так: как правильно записать поворот в трёхмерном пространстве?

На плоскости всё просто. Повернуть вектор на плоскости — это умножение на комплексное число. Комплексные числа «живут» в двух измерениях. Физика требует трёх. Гамильтон знает, что нужен какой-то аналог комплексного числа с тремя компонентами. Он перебирает варианты снова и снова, ночью и днём, за завтраком и в обсерватории. Жена шутит, что за едой он уже давно разговаривает не с ней, а со своими уравнениями.

Он добирается до моста Брум — и здесь, посреди прогулки, его настигает ответ. Не три компоненты, а четыре. Нужно добавить вторую, третью и четвёртую мнимую единицу, и тогда алгебра поворотов работает. Гамильтон достаёт перочинный нож и вырезает формулу прямо на камне парапета: i² = j² = k² = ijk = −1. Надпись давно стёрлась, но с 1958 года на мосту висит чугунная табличка. [1]

Кватернионы Гамильтона — первый объект в истории, который честно хранит направление. А из них, пятьдесят лет спустя, вырежут инструмент попроще и попрактичнее — тот самый вектор, которым физика пользуется по сей день. Сегодня мы пройдём весь этот путь.

Где мы сейчас

Часть 1. Сила без направления — не сила

Вернёмся к уроку 3. Мы записали второй закон Ньютона в форме дифференциального уравнения: F = ma. Вы решали это уравнение, находили траекторию. И всё работало. Но у меня к вам вопрос: что именно мы записывали буквой F?

Предположим, на брусок действует сила 10 ньютон. Он сдвинется? В каком направлении? Если сила направлена вверх — он оторвётся от стола. Если вниз — прижмётся к нему. Если вбок — поедет. Одно число «10 Н» не говорит нам ничего: у него нет направления.

Температура воды в чайнике равна 80°C. Куда направлена эта температура? Никуда. Температура — просто число, скаляр: его достаточно, чтобы описать состояние воды. А сила, скорость, ускорение, напряжённость электрического поля — это векторы: для них число — только половина ответа. Вторая половина — направление.

Казалось бы, чего проще — добавим к числу стрелку. Но как с такой стрелкой считать? Как складывать два усилия, приложенных под разными углами? Как записать уравнение движения в трёх измерениях? Именно здесь физика в середине XIX века и упёрлась. А вышла из тупика — через мост в Дублине.

Часть 2. Мост Брум, октябрь 1843

Уильям Роуэн Гамильтон пришёл к своей задаче через небесную механику и оптику. Он знал, что комплексные числа — это пара вещественных чисел с особым правилом умножения, и это правило кодирует повороты на плоскости. Планеты движутся не на плоскости, а в пространстве. Стало быть, нужен трёхмерный аналог.

На мосту Брум озарение пришло простое и беспощадное: нужно четыре компоненты, не три. Кватернион — это объект вида

Правило умножения кватернионов оказалось некоммутативным: ij = k, но ji = −k. Порядок множителей важен. Это было шокирующе — до 1843 года все алгебры, с которыми работали математики, были коммутативны. Гамильтон сломал это правило, и сломал намеренно: именно некоммутативность кодирует трёхмерные повороты корректно.

Кватернионы сразу стали знаменитостью. Гамильтон считал их главным открытием жизни, написал о них две толстые книги, и следующие полвека физики действительно использовали их для описания трёхмерных задач — мучительно. Потому что кватернионы полны избыточности: для большинства задач механики та часть a, «скалярная», просто обнуляется и мешает под ногами.

Часть 3. Гиббс и Хевисайд вырезают лишнее

К 1880-м годам стало ясно: четыре компоненты там, где нужны три, — это как носить пальто в июле. Два человека независимо и почти одновременно предложили выход.

Джозайя Уиллард Гиббс, профессор математической физики Йельского университета, в 1881 году разослал своим коллегам по всему миру небольшую брошюру — всего для использования студентами на занятиях. [3] В ней он показал, что из кватерниона достаточно взять три «мнимые» части и определить для них два произведения: скалярное (даёт число) и векторное (даёт вектор). Скалярная часть выброшена, четвёртая компонента не нужна.

Оливер Хевисайд в Лондоне пришёл к тому же, работая над уравнениями Максвелла. Он — самоучка, телеграфист без университетского образования, — в 1884 году переписал двадцать уравнений Максвелла в двадцати неизвестных в форму, знакомую нам сегодня: четыре уравнения в двух переменных, используя именно операторы Гиббсова векторного анализа. [4] То, что Хевисайд сделал с уравнениями Максвелла, — это был акт радикальной редактуры. Содержание осталось, лапидарность выросла в разы.

Результат этой «хирургии» — современный трёхмерный вектор. Он хранит три компоненты по осям координат и несёт ровно столько информации, сколько нужно физике: и величину, и направление.

Часть 4. Сложение: голова к хвосту и параллелограмм

Итак, вектор — направленный отрезок. Как их складывать? Правило геометрическое и интуитивное.

Правило «голова к хвосту»: возьмите первый вектор, приложите начало второго к концу первого — результирующий вектор идёт от начала первого к концу второго. Это то же самое, что правило параллелограмма: постройте параллелограмм на двух векторах — его диагональ и есть сумма.

Аналитически — ещё проще. Если

Попробуйте прямо сейчас. Перетащите наконечники векторов мышью и посмотрите, как меняется результирующий вектор — сумма отображается синим:

Вернёмся к задаче из начала урока. Два усилия под разными углами — их сумма не равна арифметической сумме величин. Именно это и покажет виджет: геометрическая картина сложения принципиально отличается от скалярного арифметики. Если бы у силы не было направления — виджет вам был бы не нужен. Но у неё есть.

Часть 5. Компоненты и проекции

Физика редко задаёт вектор в виде «такой-то длины под таким-то углом». Гораздо удобнее — разложить его по осям координат. Это превращает одну геометрическую задачу в три независимые скалярные.

Проекция вектора F на ось x — это сколько от этого вектора «попадает» в направление оси. Если вектор составляет угол θ с осью x, то

Почему это важно? Потому что уравнение F = ma из урока 3, которое было записано для одного измерения, в трёх измерениях распадается на три независимых уравнения — одно для каждой оси. F_x = ma_x, F_y = ma_y, F_z = ma_z. Разложение по осям — это и есть мост между геометрией вектора и алгеброй уравнений.

Часть 6. Два произведения — у векторов своя арифметика

Сложение векторов похоже на сложение чисел — только покоординатное. Но умножение у них другое. Их два вида, и каждый отвечает на свой физический вопрос.

Скалярное произведение — насколько векторы «согласованы»

Физический смысл: работа, совершённая силой F при перемещении s, равна W = F · s. Если сила перпендикулярна перемещению (α = 90°), работа равна нулю: cos 90° = 0. Вот почему нормальная реакция опоры не совершает работы — она перпендикулярна движению.

Векторное произведение — ось вращения и площадь

Физический смысл: момент силы M = r × F. Сила, приложенная к рычагу, создаёт крутящий момент — вектор, указывающий ось вращения. Именно поэтому у моментов сил в трёхмерном пространстве есть ось, а не просто «величина вращения». И именно поэтому — возвращаясь к Гамильтону — кватернионы с их некоммутативностью ij ≠ ji так хорошо описывают вращение: порядок имеет значение, как и в физике вращения.

Резюме