Базель, январь 1697 года. Иоганн Бернулли открывает свежий выпуск Acta Eruditorum и читает задачу, которую он сам же и опубликовал полгода назад, — обращённую ко «способнейшим математикам всего мира». Ответы он получил от пяти человек. Один из конвертов пришёл из Лондона без подписи — но почерк Иоганн узнал мгновенно. «Льва, — скажет он потом, — я узнаю по когтям».

Задача называлась брахистохрона — по-гречески «кратчайшее время». По какой кривой маленький шарик, пущенный из точки A, добирается до точки B быстрее всего? Не по прямой, не по дуге окружности — по какой? Ответить означало найти не число и не функцию, а форму кривой. Математика до этого момента умела искать минимум среди чисел. Здесь нужно было искать минимум среди кривых — бесконечномерная задача. Новый вопрос потребовал нового инструмента.

Этот урок — о том, как из задачи Бернулли выросло вариационное исчисление, как Эйлер и Лагранж превратили его в язык всей механики — и почему принцип наименьшего действия оказался глубже второго закона Ньютона, который мы разбирали в Уроке 3.

Быстрый обзор — где мы

Часть 1. Задача о брахистохроне

Июнь 1696 года. Иоганн Бернулли публикует вызов в Acta Eruditorum. Задача сформулирована с хирургической точностью: даны две точки A и B в вертикальной плоскости (B ниже и правее A), не на одной вертикали. Шарик скользит без трения под действием силы тяжести. По какой кривой он проедет быстрее всего?

Интуиция подсказывает: прямая. Прямая — это кратчайший путь, значит, на ней меньше разгоняться. Интуиция ошибается. Прямая не оптимальна. Выигрывает более крутой старт: шарик быстро набирает скорость в начале — и сохраняет выигрыш по скорости на всём пути, даже если путь длиннее. Оптимальная кривая называется циклоидой — это след точки на ободе катящегося колеса. [2]

Часть 2. Принцип Ферма — свет тоже ленив

Задача Бернулли была новой. Но идея, что природа сама находит оптимальный путь, — нет. В Уроке 1 мы видели Ферма в роли предтечи производной: он умел находить максимумы и минимумы алгебрических выражений. Теперь — другая сторона того же Ферма.

В 1662 году Пьер де Ферма сформулировал принцип, который объяснял преломление света. Свет, переходя из воздуха в стекло, меняет направление — и меняет его именно так, чтобы добраться до пункта назначения за наименьшее время. Не по прямой (прямая в однородной среде быстрее, но в неоднородной — нет), а по пути наименьшего времени. [1]

Принцип Ферма — это тот же класс задачи, что и брахистохрона. В обоих случаях мы минимизируем интеграл вдоль неизвестной кривой. Разница лишь в том, что мы интегрируем: в одном случае время, в другом — нечто, что ещё предстояло назвать. Эйлер и Лагранж назовут это «действием».

Часть 3. Действие S и лагранжиан

Чтобы сказать «природа минимизирует X», нужно сначала назвать, что такое X. Именно здесь в нашу историю входит Леонард Эйлер — неутомимый, добродушный, слепнущий на один глаз после петербургской болезни 1738 года — и рядом с ним молодой Лагранж из Турина.

В 1744 году Эйлер публикует книгу о вариационном исчислении и вводит ту идею, которую Лагранж в 1755 году — в письме Эйлеру, которое тот получит от девятнадцатилетнего Лагранжа — превратит в чистый и изящный формализм. [3] Эйлер немедленно отказывается от своего метода в пользу лагранжева. «Я не имею чести быть учителем г-на Лагранжа, — напишет он впоследствии, — но я счастлив быть учеником».

Центральная величина — лагранжиан L. Для механической системы он определяется просто:

Это разность кинетической и потенциальной энергии. Не сумма (полная энергия), а именно разность. На первый взгляд — странная. На второй — гениальная, потому что именно она кодирует всю динамику системы.

Теперь — действие S. Это интеграл лагранжиана по времени вдоль конкретной траектории от момента t₁ до t₂:

У каждой возможной траектории из точки A в момент t₁ до точки B в момент t₂ есть своё значение S. Природа выбирает ту траекторию, на которой S минимально (точнее — стационарно; мы вернёмся к этой тонкости). Это и есть принцип наименьшего действия, или принцип Гамильтона. [4]

Потяните мышью путь в интерактиве ниже — и посмотрите, как меняется значение действия S. Реальная траектория — та, на которой S минимально:

Часть 4. Уравнения Эйлера–Лагранжа

Красивый принцип — хорошо. Практический метод — лучше. Как из «природа минимизирует S» получить конкретное уравнение движения?

Здесь вариационное исчисление делает ровно то, что обычный анализ делает для функций: ищет точку, в которой «производная» равна нулю. Только «производная» теперь — не по числу, а по форме кривой. Если сдвинуть реальную траекторию на бесконечно малую «вариацию» δq, действие не меняется — точно так же, как функция не меняется вблизи своего минимума. Это условие называется вариация действия равна нулю: δS = 0.

Когда это условие записывают явно — берут производную под интегралом по части, интегрируют по частям — получается уравнение, которое должно выполняться для каждой обобщённой координаты q_i: [3]

Это дифференциальное уравнение — точно такого же сорта, как те, что мы изучали в Уроке 3. Подставьте в него L = T − V для самого простого случая — частица массы m в потенциале V(x): слева появится mäx (ускорение, умноженное на массу), справа — −dV/dx (минус градиент потенциала, то есть сила). Вы получите второй закон Ньютона. Слово в слово. F = ma.

Часть 5. «Аналитическая механика» без единого чертежа

Париж, 1788 год. Жозеф Луи Лагранж публикует «Mécanique analytique» — книгу, которую он писал двадцать лет. В предисловии он сообщает об этой книге нечто дерзкое:

Это не скромность — это манифест. Лагранж поставил себе цель: вывести всю механику — от падения камня до движения планет — из одного принципа (наименьшего действия) через одно уравнение (Эйлера–Лагранжа), ни разу не нарисовав вектор силы. Вместо «рисуй, куда действует сила» — «запиши кинетическую и потенциальную энергии, подставь в формулу».

Холодный минимализм Лагранжа — не каприз. Это стратегия. Алгебраический формализм без чертежей работает в любой системе координат: полярной, сферической, обобщённой. Это особенно важно, как мы увидим в связи с линейной алгеброй из Урока 7: позже то же «действие» будет переформулировано для полей — и операторов над ними.

Часть 6. Почему принцип действия глубже, чем F = ma

Уравнение Эйлера–Лагранжа воспроизводит второй закон Ньютона — значит, они эквивалентны? В каком-то смысле да. Но есть три места, где вариационный принцип оказывается мощнее.

Первое: координатная свобода. F = ma записана в декартовых координатах — и переход в полярные или сферические требует скучной и ошибкоопасной алгебры. Уравнение Эйлера–Лагранжа выглядит одинаково в любых обобщённых координатах: сменил переменные — и готово.

Второе: поля. Для поля — например, электромагнитного — понятие «сила, приложенная к точке» перестаёт быть основным. Зато лагранжиан поля записывается легко, и уравнения Эйлера–Лагранжа дают уравнения Максвелла. Векторный анализ из Урока 5 и вариационный формализм здесь работают рука об руку. [4]

Третье: симметрия. Принцип действия формулируется как свойство всего пути — «глобально». Именно это открывает дорогу к следующему шагу, который мы сделаем в Уроке 9: если действие инвариантно относительно некоторого преобразования, то существует сохраняющаяся величина. Законы сохранения выводятся из симметрий действия.

Резюме