Гёттинген, лето 1915 года. Давид Гильберт и Феликс Клейн — два самых влиятельных математика эпохи — занялись проблемой, которая не давала им покоя несколько месяцев. Общая теория относительности Эйнштейна, судя по всему, нарушала закон сохранения энергии. Это было немыслимо. Гильберт пишет в письме коллеге: «Нам нужен тот, кто действительно понимает теорию инвариантов».

Такой человек нашёлся. Звали её Амалия Эмми Нётер, тридцать три года, Эрланген. Она приехала в Гёттинген. И столкнулась с препятствием, которое не имело ничего общего с математикой: философский факультет университета отказывался допустить женщину к хабилитации — праву читать платные лекции.

Гильберт явился на заседание факультета и обратился к коллегам с вопросом, который стал знаменитым: «Мы же университет, а не баня — что нам мешает допустить женщину к хабилитации?» Его не услышали. Нётер четыре года читала лекции под именем Гильберта. А в 1918 году опубликовала теорему, которая изменила физику навсегда. [2]

Этот урок — о теореме Нётер: почему каждая непрерывная симметрия действия порождает закон сохранения — и что это означает для всей физики, которую мы изучали на протяжении курса.

Быстрый обзор — где мы

Часть 1. Что такое симметрия в физике

В обыденном языке симметрия — это когда левая половина похожа на правую. В физике слово имеет точный смысл: симметрия — это преобразование, которое не меняет законов физики.

Возьмём мысленный эксперимент. Вы проводите эксперимент в лаборатории Москвы. Теперь вся лаборатория переносится в Берлин. Физические законы те же. Это называется трансляционной симметрией пространства: физика не зависит от того, где вы находитесь. Теперь вы поворачиваете лабораторию на 90 градусов вокруг вертикальной оси. Законы снова те же. Это ротационная симметрия. Наконец, вы переносите эксперимент во времени — проводите его через неделю. Те же результаты. Это трансляционная симметрия времени.

Каждое такое преобразование образует группу: совокупность всех преобразований данного типа с операцией «применить одно после другого». Повернуть на 30° и затем ещё на 45° — то же, что повернуть сразу на 75°. Обратное преобразование существует. Есть нейтральный элемент (поворот на 0°). Это аксиомы группы. [1]

Часть 2. Непрерывные симметрии: три главных примера

Три симметрии, которые мы только что перечислили, — это не примеры из головы. Это фундаментальные свойства нашей вселенной, задокументированные в каждом физическом эксперименте.

Первая: однородность времени. Законы физики не зависят от того, когда вы проводите эксперимент. Сегодня и через год маятник качается одинаково. Это непрерывная симметрия: параметр преобразования — сдвиг по времени на произвольную величину τ.

Вторая: однородность пространства. Законы физики не зависят от того, где вы находитесь. Гравитация работает одинаково в Москве и на Луне (с одним и тем же веществом). Параметр — сдвиг на произвольный вектор a.

Третья: изотропия пространства. Законы физики не зависят от того, в каком направлении вы «смотрите». Физика не выделяет ни один вертикальный и горизонтальный. Параметр — угол поворота φ вокруг произвольной оси.

Часть 3. Нётер в Гёттингене

Вернёмся в 1915 год. Нётер приехала в Гёттинген по приглашению Гильберта и Клейна — они хотели именно её, специалиста по теории инвариантов, потому что задача была об инвариантности. Общая теория относительности описывала пространство-время как искривлённое многообразие, и в этой теории не было очевидного закона сохранения энергии. Гильберт был убеждён, что это не ошибка физики, а ошибка в понимании того, что значит «сохранение» в общем случае.

Нётер разобралась. За три года — с 1915 по 1918 — она не просто решила задачу Гильберта, но вышла далеко за её рамки. Результат, опубликованный в 1918 году в «Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen», содержал два теоремы. Первая — та, что нас интересует сегодня. [2]

Всё это время она формально не была приват-доцентом: философский факультет блокировал хабилитацию. Она читала под именем Гильберта, а слушатели знали, кто лектор на самом деле. В 1919 году, уже после реформ Веймарской республики, хабилитацию всё же дали. Но это не меняет факта: главную теорему физики XX века доказал человек, которому не разрешали официально работать в университете.

Часть 4. Теорема Нётер

Теорема формулируется коротко — настолько, что легко пройти мимо её глубины:

Слово «действие» — ключевое. Не законы в произвольном виде, а именно действие S из Урока 8. Если мы берём то же действие и преобразуем его (сдвиг по времени, сдвиг в пространстве, поворот) — и действие не меняется, то из уравнений движения можно вывести сохраняющуюся величину. [2]

Доказательство использует ровно тот формализм, который мы разобрали в Уроке 8: вариация действия δS = 0 плюс граничные условия. Если симметрия — это непрерывное однопараметрическое преобразование с параметром ε, то сохраняется именно то выражение, которое получается дифференцированием лагранжиана по этому параметру ε при ε = 0. [3][4]

Часть 5. Три пары: симметрия — закон сохранения

Посмотрите на интерактив: выберите симметрию — и увидите, какая величина сохраняется. Затем попробуйте «сломать» симметрию и наблюдайте, что происходит с сохранением:

Три главные пары — это три симметрии из Части 2, теперь с именами их законов сохранения. [5]

Разберём каждую пару.

Часть 6. Почему это перевернуло физику

До Нётер законы сохранения — энергии, импульса, момента импульса — выводились отдельно, каждый со своим доказательством. Их можно было проверить, но нельзя было объяснить: почему именно эти три величины? Почему именно они сохраняются, а не, скажем, произведение скоростей двух тел?

После Нётер ответ стал чётким: потому что наше пространство-время обладает ровно тремя непрерывными симметриями — сдвигом по времени, сдвигом в пространстве и поворотом. Каждая из них порождает ровно одну сохраняющуюся величину. Законы сохранения — не случайность, не отдельные постулаты, а математические следствия геометрии. [2] [3]

Это имеет и обратное прочтение. Если в каком-то явлении закон сохранения нарушается — это сигнал: соответствующая симметрия нарушена. В ядерной физике открыли, что слабые взаимодействия не сохраняют чётности (дискретная симметрия «зеркального отражения»). Нарушение закона — зеркало нарушенной симметрии.

В квантовой теории поля вся физика элементарных частиц строится через группы симметрий: U(1), SU(2), SU(3). Каждой — своё поле и свои переносчики взаимодействия. Стандартная модель — это теорема Нётер, развёрнутая на язык квантовых полей.

Резюме