Линкольншир, осень 1665 года. Чума закрыла Кембридж, студентов распустили по домам, и один из них — долговязый, неразговорчивый, двадцати двух лет от роду — сидит у окна в фермерском доме своей матери. Зовут его Исаак Ньютон. На столе перед ним рукопись, на подоконнике — яблоко (да, то самое; и нет, оно не падало ему на голову — это он сам потом рассказал, что просто видел, как оно упало).

Ньютон смотрит, как падает камень, брошенный со двора, и задаёт вопрос, у которого в 1665 году нет ответа. Не «как быстро камень летит» — на это математика отвечать умеет. А «с какой скоростью камень движется ровно сейчас, в это самое мгновение?». И тут вся математика, накопленная человечеством за две тысячи лет, разводит руками.

Это первая остановка нашего курса. Мы пройдём по трём векам физики и посмотрим, как каждая новая задача ломала старый математический язык и заставляла рождаться новый инструмент. Производная, интеграл, векторы, поля, вероятность, матрицы, симметрия. Сегодня — самый первый из них. Тот, что вырос из вопроса Ньютона у окна.

Часть 1. Чумной год

Начнём с того, где мы находимся — и кто рассказывает эту историю. Рассказываем мы: не как очевидцы, а как историки, которые знают, чем всё кончится, и потому могут показать вам не только результат, но и развилку, на которой он мог не случиться.

Развилка 1665 года выглядела так. Физика уже хотела говорить о движении точно. Галилей за тридцать лет до этого установил: падающее тело проходит путь, пропорциональный квадрату времени. [4] Кеплер описал орбиты планет. Появился сам язык «тело движется по закону». Но язык этот умел только одно — считать среднюю скорость.

Что математика умела — и что нет

Средняя скорость — вещь честная и простая. Проехали 120 километров за 2 часа — средняя скорость 60 км/ч. Формула, которую знает каждый:

Греческая буква Δ («дельта») здесь и дальше означает изменение, промежуток: Δs — кусок пути, Δt — кусок времени. Запомните этот значок, он будет с нами весь курс.

Проблема в том, что физике этого мало. Когда камень летит вниз, его скорость меняется каждое мгновение. Средняя за две секунды падения ничего не говорит о том, что происходит на исходе первой. А спидометр в машине показывает именно её — скорость сейчас, не среднюю за поездку. Значит, такая величина существует. Значит, у неё должен быть способ вычисления. И вот способа-то не было.

Запомните это место. Тупик 0/0 — не мелкая техническая заминка. Это стена, в которую упиралась физика. И снести её одним честным делением нельзя — нужен был новый приём. К нему мы подойдём в Части 3, а пока познакомимся с теми, кто этот приём придумал.

Часть 2. Двое, говорившие на разных языках

У производной два отца, и они друг друга терпеть не могли.

Исаак Ньютон придумал свой вариант первым — в тот самый чумной год, 1665–1666. Он называл скорость изменения «флюксией» (от латинского fluxus — течение): величина течёт, а флюксия — быстрота её течения. Сделав открытие, Ньютон поступил с ним так, как поступал со всем, что считал своим: спрятал. Полноценно метод флюксий он опубликовал почти через сорок лет. Рукопись «Метод флюксий» вышла вообще посмертно, в 1736-м. [3] Для Ньютона математика была личным оружием, а не подарком человечеству.

Готфрид Лейбниц в Германии шёл к тому же независимо и на двадцать лет позже — и был полной противоположностью. Где Ньютон прятал, Лейбниц публиковал, переписывался, спорил. И, главное, он был одержим удобными значками. Именно Лейбниц придумал писать производную как

— и этот значок оказался настолько удачным, что мы пользуемся им до сих пор, а ньютоновскими точками над буквами — почти нет. Лейбниц проиграл войну за приоритет (Лондонское королевское общество, которым руководил Ньютон, в 1712 году official признало первенство за Ньютоном), но выиграл войну за нотацию. В науке это иногда важнее.

Но прежде чем эти двое появились, дорогу им мостил третий — Пьер де Ферма. Ещё в 1630-х он умел находить, где у кривой вершина: брал точку, сдвигал её на крошечную величину, составлял отношение и потом — вот ключевой момент — отбрасывал эту крошечную величину как пренебрежимо малую. Ферма не понимал до конца, что делает (и не он один). Но именно этот приём — «сдвинь на чуть-чуть, посчитай, потом устреми чуть-чуть к нулю» — и есть сердце производной. Разберём его на следующей развилке.

Часть 3. Бесконечно сильная лупа

Вот приём, ради которого написан этот урок. Я опишу его картинкой, к которой мы вернёмся ещё трижды: бесконечно сильная лупа.

Возьмём график движения камня — кривую, где по горизонтали время t, по вертикали путь s. Выберем на ней момент, который нас интересует, — точку P. Мы хотим узнать скорость камня в этой точке.

Прямо в точку мы попасть не можем — там 0/0. Поэтому делаем шаг в сторону: берём вторую точку Q чуть правее, на расстоянии Δt по времени. Через две точки можно провести прямую — секущую. Её наклон и есть средняя скорость на промежутке от P до Q: подъём Δs, делённый на сдвиг Δt. Это мы уже умеем.

А теперь — лупа. Начинаем придвигать Q к P: Δt делаем всё меньше. Секущая при этом поворачивается. И чем сильнее мы «увеличиваем» окрестность точки P, тем больше сама кривая на этом крошечном участке похожа на прямую — а секущая всё точнее ложится вдоль неё.

В пределе — когда Δt становится меньше любого мыслимого числа, но не обращается в ноль, — секущая перестаёт поворачиваться и совпадает с одной-единственной прямой. Это касательная к кривой в точке P. И её наклон — это и есть та самая мгновенная скорость, которую искал Ньютон.

Вот определение, к которому мы шли весь урок:

Слово предел (lim) здесь несёт весь груз. Оно не говорит «подставь Δt = 0». Оно говорит: «посмотри, к какому числу прижимается отношение Δs/Δt, когда Δt прижимается к нулю». Само значение в нуле нас не интересует и не существует. Интересует, куда всё это указывает. Лупа не показывает мгновение под нулевым увеличением — она показывает, к чему стремится картинка, когда увеличение растёт.

Часть 4. Повторите за Ньютоном

Хватит слов — посчитаем. Возьмём конкретный закон движения. Пусть тело движется так, что путь равен квадрату времени:

Найдём мгновенную скорость в произвольный момент t. Идём строго по рецепту лупы — четыре шага.

Готово. Вы только что вычислили производную — и сделали ровно то, что делал Ньютон в чумной год. Если s = t², то скорость в момент t равна 2t: в момент t = 1 скорость 2, в момент t = 3 скорость 6. Не средняя за поездку — именно сейчас.

Посмотрите ещё раз на Шаг 3 и Шаг 4 вместе — в них вся суть. На Шаге 3 мы делим на h, и для этого h обязано быть не нулём. На Шаге 4 мы устремляем h к нулю — но не подставляем ноль, а смотрим на тенденцию. Лупа не обнуляет промежуток. Она показывает, к чему сходится картинка, когда промежуток сжимается.

Часть 5. Призраки исчезнувших величин

Был бы этот урок честным, если бы закончился на триумфе? Нет. Потому что в рассуждении из Части 4 есть слабое место, и современники Ньютона его прекрасно видели.

Громче всех возмущался не математик, а философ и епископ — Джордж Беркли. В 1734 году он выпустил едкий памфлет «Аналитик», где разобрал приём по косточкам. [5] Его претензия была ровно такой, какую вы, возможно, сформулировали ещё в Части 2:

Беркли бил в точку. Загляните в Шаг 3 и Шаг 4: величина h ведёт себя по-разному в зависимости от того, что нам в этот момент нужно. Делим — она ненулевая. Получили ответ — она пропала, как будто была нулём. «Призрак почившей величины»: то ли есть, то ли нет. Анализ работал — давал верные предсказания, строил мосты и считал орбиты, — но почему он работает, строго никто объяснить не мог. Полтора века.

Чем же кончилось? Тем, что спор закрыли не Ньютон и не Лейбниц, а математики XIX века — Коши, а за ним Вейерштрасс. Они дали понятию предела строгое определение, в котором не нужно ни «призраков», ни бесконечно малых, которые «то ли есть, то ли нет». Грубо говоря: число L — предел отношения, если это отношение можно загнать как угодно близко к L, выбрав Δt достаточно малым. Никто ничего не обнуляет. Речь только о близости и о тенденции. Та самая лупа — но теперь с безупречной оптикой. [2]

И последнее на сегодня — куда ведёт ниточка. Мы научились по закону движения s(t) находить скорость v(t): резать на кусочки, делить, устремлять к нулю. Производная разбирает движение на мгновенные скорости. Но физику почти всегда нужно и обратное: скорость известна — как восстановить путь? Известна сила — как найти траекторию? Это операция, обратная производной. И у неё свой первооткрыватель, своя красивая буква и своя двухтысячелетняя история. О ней — следующая глава.

Резюме