Июнь 1925 года. Двадцатитрёхлетний Вернер Гейзенберг спасается от сенной лихорадки на Гельголанде — крошечном скалистом острове в Северном море, где почти нет растений. Он взял с собой блокнот и задачу, которую пытается решить несколько месяцев: построить квантовую механику, не опираясь на классические концепции орбит — потому что орбиты атомных электронов никто никогда не видел и не измерял. [1]

Ночью, после нескольких часов вычислений, он обнаруживает, что его формулы дают правильные энергетические уровни водорода. Но есть странность: величины, которые он перемножает, не коммутируют. Если A и B — некоторые наблюдаемые величины его новой механики, то A × B даёт не то же самое, что B × A. Это нарушает всё, что он знает об обычных числах. Он не понимает, что это такое. Позже он напишет в мемуарах:

Через два месяца Макс Борн увидит рукопись Гейзенберга — и опознает в непонятном правиле умножения кое-что знакомое. То, что Гейзенберг изобрёл не зная, уже существовало в математике под именем матричного умножения.

Часть 1. Что такое матрица — таблица как единый объект

До Гейзенберга линейная алгебра была разделом чистой математики — полезным, но не срочным для физика. После 1925 года она стала языком квантовой механики.

Матрица — это прямоугольная таблица чисел, с которой работают по правилам. Не просто собрание чисел, а объект: у него есть операции сложения и умножения, и правила этих операций нетривиальны. Вот матрица 2×2:

Зачем нам это? Потому что в квантовой механике каждое измерение — это действие: вы «применяете» прибор к системе, и система откликается. Матрица — математический способ описать такое действие. Конкретно: матрица действует на вектор и возвращает другой вектор.

Это звучит механически, но за ним стоит геометрия. Матрица 2×2 задаёт линейное преобразование плоскости: поворот, масштабирование, сдвиг, проекцию — или комбинацию. Вы задаёте точку, матрица говорит, куда она переходит.

Часть 2. Матрица как преобразование: вектор на входе, вектор на выходе

Вернёмся к Уроку 4: там мы говорили о векторах как о стрелках в пространстве. Матрица — это функция, которая берёт вектор и выдаёт вектор. Что важно: она делает это линейно — то есть если растянуть входной вектор вдвое, выходной тоже растянется вдвое; если сложить два вектора на входе, на выходе получится их сумма.

Когда матрица действует на произвольный вектор, направление обычно меняется. Но существуют особые векторы, которых матрица не поворачивает — только растягивает (или сжимает). Это собственные векторы.

Часть 3. Собственные значения и векторы — то, что матрица не трогает

Собственный вектор матрицы A — это вектор u, такой что:

Геометрически: действие матрицы на собственный вектор не меняет его направления — только масштаб. Для матрицы, описывающей растяжение по осям, собственные векторы — это сами оси координат. Для матрицы поворота на 90° собственных векторов с вещественными значениями нет вообще (любой вектор меняет направление). Для симметричных матриц всегда существует полный набор ортогональных собственных векторов — и это именно тот случай, который важен в физике. [4]

Часть 4. Гейзенберг, Гельголанд, июнь 1925: умножение, которое не коммутирует

Вернёмся на Гельголанд. Гейзенберг работал без слова «матрица» — он выписывал таблицы коэффициентов, описывающих квантовые переходы между уровнями энергии атома. Его задача: найти правила, по которым эти таблицы можно складывать и перемножать, чтобы получать физически осмысленные ответы.

Правило сложения вышло естественно. А вот правило умножения дало неожиданный результат: если q — таблица координат, а p — таблица импульсов, то qp ≠ pq. [1]

Борн и его ассистент Паскуаль Йордан переписали результаты Гейзенберга на матричном языке. И тогда странность стала формулой. Для координаты q и импульса p разность матричных произведений равна не нулю, а:

Это соотношение несёт в себе принцип неопределённости Гейзенберга — тот самый, что говорит: точнее измеришь координату, неточнее знаешь импульс, и наоборот. Некоммутативность — не дефект математики. Это сама природа квантового мира.

Часть 5. Рождение матричной механики: вектор состояния и оператор

После статьи Борна и Йордана 1925 года [2] и трёхавторской работы Борна, Йордана и Гейзенберга 1926 года [3] квантовая механика получила первую полную математическую формулировку. Её словарь:

Посмотрите на оператор импульса: p̂ = −iℏ d/dx. Это та самая производная из Урока 1, умноженная на константу. Вопрос «какой импульс у частицы?» математически эквивалентен вопросу «что происходит, когда к волновой функции применяют дифференцирование?». Дифференциальный оператор — частный случай матрицы, действующей на бесконечномерное векторное пространство функций. Математика едина.

Часть 6. Некоммутативность как суть, а не дефект

В классической механике координата q и импульс p — числа. Числа коммутируют всегда: 3×5 = 5×3. Поэтому q×p − p×q = 0. Это само собой разумеется — до тех пор, пока не встречаешь матрицы.

Матрицы в общем случае не коммутируют. Проверьте:

В квантовой механике это не математический казус. Это физический факт: порядок измерений имеет значение. Сначала измерить координату, потом импульс — не то же самое, что сначала измерить импульс, потом координату. Первое измерение «возмущает» состояние, и второе видит уже другую систему. Соотношение неопределённостей Гейзенберга — прямое математическое следствие того, что qp − pq ≠ 0. [1]

Резюме